Тренировочные задания для отборочного этапа олимпиалы (7 класс, матем)

1.        На доске было записано арифметическое выражение, значение которого равнялось 2007. Вася поменял в этом выражении два знака действий местами, и зна­чение выражения стало равным 2008. Покажите, как такое могло произойти.

2.        В копилке лежат 30 монет одинакового вида, среди ко­торых 2 фальшивые: одна легче настоящих на 0,5 г, другая легче настоящих на 1 г. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить 14 настоящих монет?

3.        Несколько ребят участвовали в шахматном турнире. В итоге оказалось, что нет двух участников с одинако­выми результатами. Миша заметил, что он опередил ровно вдвое больше участников, чем опередили его. Коля заметил, что он опередил ровно втрое больше участников, чем опередили его, а Саша обнаружил, что Миша и Коля — его соседи в итоговой таблице. Какое место занял Саша?

4.        Закрасьте некоторые клетки квадрата 5x5 так, чтобы у одной из незакрашенных клеток не оказалось закра­шенных соседних клеток, у другой незакрашенной клетки была бы ровно одна закрашенная соседняя клетка, еще у одной — ровно две закрашенные сосед­ние клетки, ... и у одной из незакрашенных кле­ток ровно 8 закрашенных соседних клеток (сосед­ними называются клетки, имеющие общую сторону или вершину; у двух незакрашенных клеток может быть одинаковое количество закрашенных соседних клеток).

5.        Мама хочет наказать Петю за двойку по математике. Они договорились о следующем. Петя задумывает дву­значное число с разными цифрами и сообщает его ма­ме. После этого мама тоже задумывает двузначное число и называет его Пете. Дальше Петя в первую ми­нуту прибавляет мамино число к своему числу, во вто­рую прибавляет мамино число к полученной сумме, в третью — к вновь полученной сумме и т. д. Если в течение двух часов у него получится сумма, оканчи­вающаяся на две одинаковые цифры, мама отпустит его гулять. Сможет ли мама не позволить Пете в этот день погулять?